Sabtu, 26 Maret 2011

APAKAH SEGITIGA ACAK ITU LANCIP ATAU TUMPUL?

Oleh Gilbert Strang
Professor Matematika
Massachusetts Institute of Technology


Blossom Module 1
Random Triangles


Hai! Saya Gilbert Strang. Saya mengajar di MIT. Sebagian besar yang saya ajarkan adalah aljabar, vektor dan matriks. Saya suka mata kuliah itu! Hidup saya saya abdikan untuk mengajarkan aljabar kepada dunia. Salah satu cara untuk menyebarkannya kepada orang – orang adalah melalui kuliah terbuka. MIT telah menyediakan 2.000 pelajaran yang tersedia di web yang alamatnya adalah untuk kuliah terbuka. Dan sekitar 12 hingga 15 dari kuliah ini menyertakan pula mata kuliah berbasis video, termasuk juga aljabar linear. Jadi banyak orang menyaksikannya. Saya harap Anda menyukainya.

Topik saya hari ini lebih cenderung ke geometri daripada aljabar. Pertanyaan untuk hari ini bertujuan untuk memecahkan permasalahan: apakah segitiga acak itu lancip apa tumpul? Pertama, mari kita mengingat apa arti kedua istilah itu, lancip dan tumpul. Jadi ini sedikit gambar. Yang ini segitiga lancip. Semua sudutnya di bawah 90, kurang dari 90. Yang ini segitiga tumpul, dimana salah satu sudutnya lebih besar daripada 90. Pertanyaan saya adalah, yang manakah yang lebih banyak jumlahnya, yang mana yang lebih umum? Baiklah saya bertanya kepada Anda. Jika Anda berpikir tentang segitiga, hanya segitiga, bayangkan satu di dalam pikiran Anda, apakah itu lancip apa tumpul? Angkat tangan Anda untuk yang membayangkan segitiga lancip. Well, saya tak melihat ada yang mengangkat tangan, tapi saya akan terkejut jika segitiga lancip tidak menjadi mayoritas. Yang lain mungkin berpikir tentang segitiga tumpul, itu sudah pasti mungkin saja.

Pertanyaannya adalah, apa yang menentukan segitiga itu lancip atau tumpul? Kata yang penuh muslihat, acak. Apakah segitiga acak? Itu kemungkinannya yang lain. Kenapa saya tidak menempatkan itu juga di dalam pertanyaan saya. Menurut saya kemungkinan untuk segitiga siku – siku adalah nol. Mengapa saya katakan kemungkinan untuk segitiga siku – siku dan saya mencari kemungkinan untuk kedua segitiga ini (lancip dan tumpul) yang merupakan probabilitas positif. Dan pertanyaannya adalah apakah itu? Terima kasih!

Blossom Module 2
Random Triangles


Hai lagi. Jadi tadi saya meninggalkan Anda dengan gambar segitiga lancip dan segitiga tumpul dan saya menggambarkan pula segitiga siku – siku, mengatakan bahwa kemungkinannya adalah nol di sana. Ini seperti kemungkinan dari jika Anda mengambil angka desimal secara acak, berapakah akar kuadrat dari 2. Menurut saya sudut siku – siku tepat berada di sudut 90, dan kita tidak mengharapkan untuk tepat mengenai sudut itu secara tepat. Tapi bagaimana dengan kedua kemungkinan ini?

Jadi inilah pertanyaan kita : lancip atau tumpul? Saya punya paling tidak dua cara untuk menentukan ini. Yang pertama dengan cara memikirkan sudutnya itu sebagai sudut acak. Yang kedua, yang mampu memberikan jawaban yang berbeda, yakni dengan memikirkan sudut yang dipilih sebagai sudut acak.

Ambillah tiga titik, hubungkan ketiganya dengan segitiga dan tanyakan,”Apakah segitiga itu lancip atau tumpul?” jadi ketika saya mulai berpikir tentang ini, saya berpikir mengenai satu pendekatan yang sekarang saya tidak sukai. Tapi biar saya katakan saja apakah itu. Satu cara untuk melakukan itu adalah memulai dengan membuat satu garis, kita bisa membuatnya horizontal. Tanyakan satu hal,”jadi sekarang saya punya dua sudut, satu, dua, dan di manakah harus saya taruh sudut ketiga sehingga segitiganya lancip atau tumpul?” Jika sudut ketiga bisa di mana saja secara acak, daerah mana yang akan memberi saya segitiga tumpul? Well, saya akan menaruh sepasang garis di sini dan Anda dapat melihat bahwa jika titiknya ada di sini, maka segitiganya menjadi tumpul. Jika saya menghubungkan ketiga titik ini, maka akan terbentuk segitiga lancip. Jadi, kita mendapatkan sedikit ruang dimana sudut ketiga akan membentuk segitiga lancip. Namun keseluruhan yang di sini, jika sudut ketiga tidak ditempatkan di sana, semua segitiga yang terbentuk adalah segitiga tumpul.

Tapi semua yang di sebelah sini, jika sudut ketiga tidak berada di sana, misalnya jika yang ketiga saya taruh di sini, sehingga terbentuk segitiga, maka terbentuk segitiga lancip. Tapi semua yang di sini adalah segitiga tumpul. Saya rasa saya melihat bahwa dari gambar ini kelihatannya segitiga tumpul menang secara keseluruhan. Maksud saya, ruang bagi segitiga tumpul lebih luas. Dan jika Anda benar – benar memahami lingkaran dalam geometri Anda mungkin juga menyadari jika titik ketiga berada di sana, maka saya akan mendapatkan sudut yang besar. Jadi, bahkan di dalam bidang wilayah sudut lancip pun terdapat area segitiga tumpul. Mungkin jika titik ketiga itu berada di dalam setengah lingkaran ini, maka sudutnya akan lebih besar daripada 90. Jadi ini adalah wilayah segitiga tumpul di antara wilayah segitiga lancip. Tapi wilayah segitiga tumpul jauh, jauh, lebih besar lagi. Saya tak tahu bagaimana caranya menghitung seberapa jumlahnya.
OK. Saya akan mulai lagi degan membahas sudut acak. Tiga sudut dipilih secara acak. Dan saya akan memberikan nama latin untuk ketiga sudut – sudutnya yakni alpha, beta dan gamma. Dan apa yang kita ketahui? Kita tahu bahwa alpha plus beta plus gamma sama dengan 180. Semuanya sama, bukan? Alpha plus beta plus gamma jika dijumlahkan maka kita selalu mendapatkan nilai 180.

Sekarang saya ingin berpikir. Bagaimana saya bisa mendapatkan gambaran kemungkinan di sini, alpha, beta, gama, yang jika dijumlahkan besarnya 180? Well, bagi saya ini adalah persamaan linear. Ketika saya berpikir tentang persamaan linear saya berpikir tentang kemampuan membuat garis, membuat gambar. OK. Jadi di sini saya mendapatkan arah alpha, seberapa besar sudut alpha itu. Lalu beta dan gamma. Dan saya ingin menggambari ruang 3 dimensi ini, lalu menggambar semua sudutnya. Ketiga – tiganya harus lebih besar atau sama dengan nol, tentu saja, untuk mendapatkan jumlah 180. Sebagai contoh, kombinasinya adalah 60-60-60 – sehingga terbentuk segtiga sama sisi.

Sekarang bisakah Anda memikirkan kemungkinan lainnya? Well, ini adalah aljabar linear. Sekarang ingatlah apa yang telh Anda pelajari dari aljabar linear dan lalu saya ingin mengatakan seperti apakah gambar ini kelihatannya dan memikirkannya. Apa yang Anda ingat tentang aljabar linear? Well Anda ingat persamaan seperti x+y=4, itulah aljabar linear. Kita hanya berada dalam 2 dimensi. Ijinkan saya sedikit menggambar. X+y=4 berjalan melalui titik (4,0) dan (0,4). Semua titik di dalam garis itu menyelesaikan persamaan itu. Nah, dari sana saya ingin Anda beralih ke 3 dimensi. Aljabar linear bisa berdimensi sepuluh, tidak masalah. Aljabar linear sangat luar biasa di dalam sepuluh dimensi. Tapi di sini ada satu garis dan lalu Anda mungkin ingat persamaan lainnya, seperti x-y=0 atau yang lainnya. Akan ada titik yang berpotongan yang menghubungkan x dan y. itulah yang Anda ingat tentang aljabar linear. Dua persamaan, dua variabel yang tidak diketahui, dua garis, satu jawaban. OK.

Tapi sekarang kita di atas sini. Apa yang saya dapatkan? Pertanyaan terakhir untuk segmen ini, pertanyaan kunci untuk semuanya: bagaimana gambar dari kesemua titik yang memenuhi alpha plus beta plus gamma sama dengan 180? Ijinkan saya memberikan jawaban saya mengenai hal ini. Ini seperti berpikir secara nyata. Bagi saya hal ini mewakili bangun ruang. Bangun datar di antara ruang 3 dimensi dan bahwasanya bangun ruang ini terbentuk melalui titik 180 di mana alpha = 180 dan beta serta gamma = 0. Bisakah Anda membayangkan gambarnya? Saya akan menampilkan sedikit demo pada segmen selanjutnya sehingga Anda dapat melihatnya. Bagi saya, terdapat bangun ruang di sana dan melalui ketiga titik itu, ruang asal yang seperti berada di belakang bangun ruang itu berada di sana. Jadi inilah ujung bangun ruangnya dan inilah segitiganya. Itulah yang tepatnya saya cari – cari. Terima kasih!

Blossom Module 3
Random Triangles


Hai! Jadi sekarang kita kembali ke segitiga yang mahapenting ini. Ingatlah bahwa segitiga ini adalah bidang. Semua titik – titik ini di dalam 3 dimensi memenuhi persamaan ini. Ketiganya, alpha, beta dan gamma bila dijumlahkan menjadi 180. Yang paling ujung dari segitiga ini akan seperti alpha 180, serta beta dan gamma yang masing – masing bernilai 0. Jadi Anda dapat katakan bahwa segitiga ini sepenuhnya rata. Ini seperti satu sudut nol, satu sudut nol, dan satu sudut lainnya 180. Tetapi bila saya memindahkannya ke dalam.... Well, biar saya tinggal di bagian luar tapi bergerak sedikit saja. Ini titik yang cukup penting. Titik ini seperti setengah jalan menuju kemari, maka saya akan katakan itulah titik dimana juka gamma masih tetap bernilai 0 karena saya masih berada di dasar, saya tidak mendapat ketinggian di sini tapi saya sedang menuju ke sana, ini akan menjadi segitiga 90/90/0. Lagi, dengan sudut nol, segitiganya sedikit rata. Jadi titik – titik yang berada di dalam yang menarik bagi saya. Dan untuk menggambarkannya dengan lebih baik, saya punya sesuatu yang benar – benar 3 dimensi. Tentu saja masalahnya adalah papannya hanya berupa dua dimensi.

OK. Jadi ini arah alpha, beta, dan gamma dan sekarang saya akan menaruh satu bidang dan saya akan menaruhnya seperti yang digambarkan di papan. Anda lihat ini mengacu kepada 180 untuk gamma, 180 untuk alpha, 180 untuk beta, kenyataannya yang tertulis di sana adalah persamaan, persamaan terpenting kita yakni jumlah sudut – sudutnya = 180.

Jadi inilah titik – titik di dalam segitiga yang akan saya ambil secara acak. Dan keetika saya mengambil titik acak saya ingin tahu apakah itu titik lancip atau tumpul? Segitiga apa yang berhubungan dengan titik – titik itu? Well, jika titiknya berada di mana saja di bawah sini, alpha-nya besar, pastinya lebih besar daripada 90 di bagian sudutnya. Jadi terdapat daerah di sini dimana semua titik berhubungan dengan segitiga tumpul karena titik – titik itu berada di bawah sini di bagian sudut. Alpha lebih besar daripada 90. Tapi kemudian terdapat titik di mana alpha tepat bernilai 90. Ini adalah segitiga siku – siku dimana alpha-nya tepat 90 Dan ini harus berjumlah satu. Dan jika saya memotong ini menjadi dua bagian, dimana yang satu adalah 90 dan yang lainnya juga 90, saya rasa, saya harap Anda setuju dengan saya, bahwa ini adalah alpha yang besar dan alpha yang ke arah sana lebih kecil. Jadi alpha yang besar mempunyai peluang yang pasti, adalah ukuran dari yang lebih kecil ini yang dibandingkan dengan keseluruhan. Tapi sekarang beta juga bisa besar. Jadi terdapat pula sudut di sini di mana segitiganya tumpul karena beta lebih besar daripada 90. Well, di sini beta tepat 90. Jadi terdapat garis di sini. Hal yang menarik di dalam aljabar linear adalah segalanya lurus. Tak ada perihal kalkulus! Jadi di sana saya punya sudut tumpul akibat beta yang besar.

Dan akhirnya saya ingin memnunjukkan kemungkinan bahwa gamma itu besar, sebesar 180, 150, 120, atau 90, akan ada di sana. Jadi terdapat segitiga tumpul ketika gamma terlalu besar. Dan apa yang tertinggal adalah daerah di mana kesemuanya itu di bawah 90 dan itulah segitiganya. Itulah segitiga dalam. Jadi saya siap menanyakan kepada Anda sebuah pertanyaan. Saya tunjukkan kepada Anda gambar yang sama di sini di dalam model kita di mana Anda melihat kepingan – kepingannya. Dan tentu saja yang itu adalah yang saya katakan memiliki kemungkinan = 0, yakni segitiga yang di kanan dimana saya berada di ujung antara segitiga lancip dan tumpul. Bagaimana jawabannya sekarang? Fraksi mana yang lancip? Fraksi mana yang tumpul? Saya akan kembali dengan jawabannya , tapi Anda bisa mencari sendiri jawabannya. Terima kasih!

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

LinkWithin

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...